阿廷環

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[编辑] 定義

一個環 $A$ 稱作阿廷環，若且唯若對每個由 $A$ 的理想構成的降鏈 $\mathfrak{a}_1 \supset \mathfrak{a}_2 \supset \ldots, \supset\mathfrak{a}_n \supset\ldots$ ，必存在 $N \subset \mathbb{N}$ ，使得對所有的 $n,m \geq N$ 都有 $\mathfrak{a}_n = \mathfrak{a}_m$ （換言之，此降鏈將會固定）。

將上述定義中的理想代換為左理想或右理想，可以類似地定義左阿廷環與右阿廷環，A是左（右）阿廷環若且唯若A在自己的左乘法下形成一個左（右）阿廷模；對於交換環則無須分別左右。

[编辑] 例子

設 $k$ 為一個域，若環 $A$ 是佈於 $k$ 上的有限維代數，則 $A$ 是阿廷環。

[编辑] 基本性質

若一個環 $A$ 是交換阿廷環，則滿足下列性質：

$A$ 是諾特環。
每個素理想皆是極大理想。
$A$ 僅有有限個素理想。
對每個素理想的局部化誘導出同構 $A \stackrel{\sim}{\rightarrow} \prod_\mathfrak{p} A_\mathfrak{p}$ 。

就代數幾何的觀點，阿廷環的譜在拓樸上只是有限多個點，但其結構層可能帶有冪零的元素，這就使得局部阿廷環成為描述無窮小變化量的代數語言。

[编辑] 文獻

Charles Hopkins. Rings with minimal condition for left ideals. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712--730.
Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X

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