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叉积

叉积，即交叉乘积，也被称为向量积、矢量积、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。

目录

[编辑] 定义

两个向量 a 和 b 的叉积写作 a × b （有时也被写成 a ∧ b，避免和字母 x 混淆）。叉积可以被定义为：

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf\hat{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \sin \theta

在这里 θ 表示 a 和 b 之间的角度（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。而 n 是一个与 a 和 b 均垂直的单位矢量。

这个定义有一个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于 a 和 b：若 n 满足垂直的条件，那么 −n 也满足。

“正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系 (i, j, k) 的 左右手定则。若 (i, j, k) 满足右手定则，则 (a, b, a × b) 也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，则将右手的食指指向第一个向量的方向，右手的中指指向第二个向量的方向，那么结果向量的方向就是右手拇指的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。

下图表示一个右手坐标系中的叉积：

Image:crossproduct.png

[编辑] 性质

[编辑] 几何意义

叉积的长度 |a × b| 可以解释成以 a 和 b 为边的平行四边形的面积。进一步就是说，三重积可以得到以 a，b，c 为边的平行六面体的体积。

[编辑] 代数性质

a × b = -b × a
a × (b + c) = a × b + a × c
  • 与标量乘法兼容：
(ra) × b = a × (rb) = r(a × b)
a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0

分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。

  • 两个非零向量 a 和 b 平行，当且仅当 a × b = 0

[编辑] 拉格朗日公式

  • 这是一个著名的公式，而且非常有用：
a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b),

可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形：

\begin{matrix} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) &=& \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\ &=& \mbox{grad }(\mbox{div } \mathbf{f} ) - \mbox{laplacian } \mathbf{f}. \end{matrix}

这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解 \Delta = d \partial + \partial d 的特殊情形。

  • 另一个有用的拉格朗日恒等式是：
|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2.

这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。

[编辑] 矩阵形式

给定直角坐标系的单位向量 i，j，k 满足下列等式：

i × j = k           j × k = i           k × i = j

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a = a1i + a2j + a3k = [a1, a2, a3]
b = b1i + b2j + b3k = [b1, b2, b3]

则

a × b = [a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1]

上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix}

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 i，j，k 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1i + a2j + a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。

[编辑] 高维情形

七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质：

x × (ay + bz) = ax × y + bx × z
(ay + bz) × x = ay × x + bz × x.
  • 反交换律：
x × y + y × x = 0
  • 同时与 x 和 y 垂直：
x · (x × y) = y · (x × y) = 0
  • 拉格朗日恒等式
|x × y|2 = |x|2 |y|2 − (x · y)2.
  • 不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：
x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x × y) ≠ 0

[编辑] 应用

在物理学光学和计算机图形学中,叉积被用于求物体光照相关问题。

求解光照的核心在于求出物体表面法线，而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量(或者不在同一直线的三个点),就可依靠叉积求得法线。


[编辑] 参见

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